Jogo dos Números

Corrida de Bicicleta

Um ciclista parte de A em direcção a G, seguindo um dos percursos assinalados. Ele parte com um capital de 100 pontos. Em cada etapa, o seu capital aumenta um número de pontos correspondente ao valor da expressão escrita na estrada percorrida (ou diminui se o valor é negativo). Determina o percurso que permite obter o número máximo de pontos.

Roda dos Números

Utilizando os números do quadro, completa a “roda dos números” de modo que os três números de cada fila somem 39 (repara que o 13 já foi colocado na roda).

Descobre a palavra chave

Descobre a palavra-chave

Para isso,
1. Substitui cada uma das figuras geométricas desenhadas acima, pelo respectivo valor numérico, de acordo com o código seguinte:

2. Substitui agora cada um dos valores obtidos em 1 por uma letra, de acordo com o código:

12 – T 40 – C
81 – E 6 – A
16 – M 98 - I

Completa as casas em branco

Conta - mistério

Na figura está representada uma adição de quatro “parcelas”, com o respectivo resultado. Sabendo uns rudimentos de Inglês, não é difícil concluir que a “conta”está bem feita, isto é, temos na verdade 4 + 1 + 3 + 3 = 11.

Acontece, porém, que a figura também pretende representar uma adição normal realizada com números de três, quatro e cinco algarismos. Só que cada algarismo foi substituído por uma letra (e aqui é que está o mistério). Sabendo que a cada letra corresponde um e um só algarismo, e que a conta está correcta, reconstrói as parcelas e o total, substituindo as letras pelos algarismos correspondentes.

Lucro ou Prejuízo?

Supõe que compraste um boneco por 6 euros, vendeste-o por 7 euros, compraste-o novamente por 8 euros e vendeste-o finalmente por 9 euros.

Tiveste lucro ou prejuízo? De quanto?

Testamento

Um velho árabe, dono de 19 camelos, decidiu a seguinte herança para os seus três filhos: ao mais velho deixou metade; ao intermédio, a quarta parte; ao mais novo, a quinta parte dos camelos.
Depressa o testamento se tornou um verdadeiro problema. O filho mais velho perguntou: “Metade de 19 camelos?! O que poderei fazer com meio camelo?!”O filho intermédio questionou-se: “Como posso dividir um camelo em 4 partes?!” E o mais novo: “Qual será a quinta parte de 19?”.
Algum tempo depois, passou um árabe amigo, acompanhado de um camelo muito velho e doente. Os filhos contaram-lhe o problema e o amigo ofereceu-lhes o seu velho camelo. Eles rejeitaram amavelmente a oferta. Contudo, o amigo juntou o seu camelo aos outros19, totalizando 20 camelos.
Deste modo, o filho mais velho recebeu metade de 20 camelos: 10 camelos. O filho intermédio, recebeu a quarta parte de 20: 5 camelos. E o mais novo, recebeu a quinta parte de 20: 4 camelos. O amigo recuperou o seu velho camelo e partiu satisfeito por ter resolvido o problema do testamento!

Como explicas o sucedido?

Números Racionais

Números Negativos

Fui ao cinema e deixei a
bicicleta no piso -2.

A origem dos números negativos situa-se no Oriente. Os Chineses usavam um instrumento de cálculo para realizarem operações com números positivos e negativos e os Indianos, desde o século VIII, que têm conhecimento dos números negativos e do seu significado, usando-os em situação de dívida.
No Ocidente a aceitação dos números negativos não foi tão natural. No século XVI, o matemático Stifel designava-os por “números absurdos” e mesmo Descartes, no século XVII, não se deixou convencer, designando-os por “falsos” ou “menores que nada”.
Apenas no século XIX, com os trabalhos de Wessel, Argand e Gauss, os números negativos adquirem o significado que têm hoje.
Como deves saber há muitas situações do nosso dia-a-dia que estão associadas aos números negativos: a representação de temperaturas negativas, dos pisos de um edifício que se encontram na cave, dos saldos negativos, das situações de dívida…

1. Considera o eixo da figura:

a. Representa sobre este eixo os pontos M, N, P e Q de abcissas, respectivamente: -4, -3, 3 e 5.
b. Indica as abcissas dos pontos médios dos segmentos de recta:

2. Considera o referencial cartesiano.
a. Representa os pontos

Tendo o cuidado de os unir por segmentos de recta de modo a obteres uma figura geométrica.

b. Vais agora identificar esta figura assinalando no quadro seguinte o que ela é.

c. Desenha os eixos de simetria desta figura.

Números Racionais

Os números inteiros nem
sempre resolvem os meus problemas.

Falámos sobre o conjunto dos números inteiros, mas o conhecimento que tens dos números não fica por aqui. Conheces números que não são inteiros e podem ser representados por uma fracção. A estes números chamamos números fraccionários. Supõe que conhecias apenas os números inteiros e querias distribui, igualmente uma peça de 26m de tecido por 5 pessoas. Irias perceber rapidamente que não existe nenhum número inteiro que represente o número de metros com que iria ficar cada pessoa. Este número pertenceria a um outro conjunto, o conjunto dos números fraccionários, poder-se-ia representar, de entre outras formas, por 5,2 (numeral decimal) ou (fracção).
No papiro de Rhind (1650 a. C.), que se encontra no Museu Britânico de Londres, e é dos mais importantes registos do conhecimento matemático da Antiguidade, já aparecem fracções. Os Egípcios faziam cálculos muito complicados com fracções, os quais foram usados durante milhares de anos e praticados na Idade Média.

1. Ao João ofereceram-lhe uma caixa com bombons. Ele comeu do número total de bombons e ofereceu aos amigos.

a. Qual a porção (parte ou fracção) de bombons que sobrou?
b. Sabendo que ele comeu 8 quantos bombons tinha a caixa?
c. Quantos bombons ofereceu aos amigos?

Números Inteiros

Afinal eu, o “zero”, não
sou nulidade nenhuma.

Como sabes, o zero não é um número natural, o que faz muito sentido, pois este número não corresponde a uma necessidade real de contagem; não havendo objectos, não há necessidade de contar. Este número pertence ao conjunto dos números inteiros.
Não há unanimidade relativamente ao momento da história da Humanidade em que surgiu este número e à civilização que o terá criado. Existe, no entanto, acordo em relacionar o aparecimento do zero com a necessidade de representar os números, ou seja, com o aparecimento dos sistemas de numeração.
Pensa-se que o zero está associado ao aparecimento do Sistema de Numeração Decimal (o nosso sistema), que foi desenvolvido pelos hindus e introduzido na Europa Medieval pelos mercadores de Itália, que com ele tomaram contacto através dos Árabes. A grande inovação deste sistema em relação ao egípcio ou romano é a existência de um símbolo 0 (zero ou zifr), que permite representar os múltiplos de 10 e tornar, por isso os cálculos muito mais simples. Por exemplo, a data MCCCV é 1305 no nosso sistema.

1. Que operações se devem fazer para conseguir o resultado final 1, utilizando uma só vez cada algarismo de 0 a 9?

2. Como conseguir estas igualdades, utilizando sinais de operações e parêntesis?

9 9 9 9=7
8 8 8 8=15
9 9 9 9=19
8 8 8 8 =56
9 9 9 9=80
8 8 8 8=192

9 9 9 9=720

Números Naturais

O Homem teve necessidade de
contar e criou os números naturais.

Quando as actividades do Homem primitivo se limitavam à caça e à recolecção de alimentos, a sua necessidade de contar quase não existia. Mais tarde, quando o Homem se torna pastor ou agricultor, e principalmente, quando destas actividades consegue obter algum excedente que o transformam em artesão ou mercador, a possibilidade de contar passa a ser uma “ferramenta” essencial para a realização das suas tarefas.
O processo de contagem pressupõe sempre que se estabeleça uma correspondência entre dois conjuntos. Assim, os primeiros pastores poderiam ter estabelecido uma correspondência entre o conjunto das suas ovelhas e o conjunto cujos elementos seriam traços nos seus cajados.
Se pensarmos bem, ainda hoje, quando contamos pelos dedos, estamos a fazer uma correspondência com os dedos das mãos. Repara também que a palavra dígito vem do latim digitus, que significa dedo, e que o nosso sistema de numeração é decimal (de base 10). Daqui pode perceber-se como a contagem está associada à noção de correspondência, sendo certamente os dedos das mãos e até os dos pés (para alguns povos) os elementos que estavam ali mesmo à “mão” ou ao “pé”.

1. Modifica a posição dos números, de modo que, em cada triângulo grande a soma seja sempre 50.

2. Pensa em pintos e capoeiras. Se colocarmos sete pintos em cada capoeira, sobra um pinto. Se pusermos nove em cada capoeira uma delas fica vazia.
Quantos pintos e capoeiras estamos a pensar?

3. Completa o aritgrama seguinte, utilizando algarismos de 1 a 9.

Problema do mês de Fevereiro

1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100

Como conseguir esta igualdade colocando entre os nove primeiros algarismos sinais aritméticos?

Escher

"É ESQUISITO QUE EU PAREÇA ABORDAR TEORIAS MATEMÁTICAS, SEM QUE EU PRÓPRIO AS CONHEÇA"
M. C. ESCHER

M.C. Escher é um artista gráfico de origem holandesa. As suas obras ficaram conhecidas pelos seus desenhos impossíveis, pelas ilusões espaciais que concebeu e pelos padrões que desenvolveu (baseando-se nos desenhos Mouros que observou em Granada, nas suas visitas a Espanha).
Embora tivesse sido péssimo aluno a Matemática, através da sua arte conseguiu cativar os mais reputados Matemáticos e, em particular, os geómetras. Observando atentamente os seus trabalhos, apercebemo-nos da complexidade criada, quer geometricamente, quer pelas ilusões imaginadas, o que requer várias observações até serem compreendidos - se é que alguma vez o conseguimos...

Biografia de Maurits Cornelis Escher:

1898 – Nasce Maurits Cornelis Escher em Leeuwarden, Holanda;
1907 – Começa a aprender piano e carpintaria;
1911 – Inicia a Escola Secundária;
1919 – Entra na Escola de Arquitectura e Artes Decorativas em Haarlem (Holanda);
1922 – Desiste da Escola de Arquitectura e Artes Decorativas e dedica-se exclusivamente ao desenho e técnicas de gravura. Inicia uma, de muitas, viagens por Itália;
1924 – Casa com Jetta Umiker e muda-se para Roma;
1926 – Nasce o seu primeiro filho;
1930 – Morre o seu “mestre”, o Professor Samuel Jesserun de Mesquita (de origem Portuguesa), que tinha conhecido nos anos em que frequentou a Escola de Arquitectura e Artes Decorativas;

Bombons

Supõe que uma caixa de bombons tem divisórias como vês na figura. Como podes colocar 14 bombons na caixa de modo que em cada linha e em cada coluna haja um número par de bombons.

Popeye

Popeye, o marinheiro, observava da proa da sua barcaça a subida da maré. Na barcaça, pendurou uma escada com 6 metros de comprimento. Os degraus distam 25 centímetros e o último está a tocar a água; a maré sobe à razão de 20 centímetros por hora.
Grita-lhe a sua famosa namorada Olívia Palito:
-Popeye, tenho medo! Quando estarão os dois primeiros degraus cobertos pela água?

Escher

Palhaços

Quantos palhaços diferentes, ao nível da forma, encontras na imagem? Justifica.

Escher

Borboletas

Quantas borboletas de cada cor consegues contar? Ao todo quantas são? As borboletas são semelhantes?

Escher

Peixes e barcos


Observa como formas diferentes se podem complementar.
És capaz de descobrir outros exemplos assim?

Estrela

Os 18 fósforos formam uma estrela que compreende oito triângulos.
- Identifica-os
- Verifica se os triângulos encontrados são semelhantes e, em caso afirmativo, justifica.
- Retira apenas dois fósforos, de forma a ficares apenas com seis triângulos.

Problema do mês de Janeiro

Descobre a palavra ...

Que palavra de três letras será esta, sabendo que:

-“Mês” Não tem nenhuma letra comum com ela;
-“Sim” tem só uma letra comum, que não está no devido lugar;
-“Rói” tem só uma letra comum situada no devido lugar;
-“Rol” tem só uma letra comum, que não está no devido lugar;
-“Mar” tem só uma letra comum, que não está no devido lugar

A Floresta

Vais a atravessar uma grande floresta, levando como companheiros um lobo, um coelho e cenouras. Durante todo o caminho o lobo quer comer o coelho e o coelho quer comer as cenouras, e tu tens que te acautelar para evitar que aconteça alguma destas calamidades.

Chegas a um rio e descobres um barco que podes utilizar para a travessia, mas é tão pequeno que só podes levar um passageiro de cada vez – ou o lobo, ou o coelho, ou as cenouras.

Nunca podes deixar o lobo sozinho com o coelho, nem o coelho a sós com as cenouras.

Então como é que fazes para que todos atravessem o rio?

Simetrias

As figuras que não têm
nenhum eixo de simetria

não são simétricas.

Existem na Natureza muitos seres onde podemos encontrar simetrias e que impressionam pela sua beleza. Isto acontece em grande variedade de seres vivos, nomeadamente com os malmequeres, margaridas, borboletas, estrelas-do-mar… O nosso corpo está também associado a uma ideia de simetria em relação a um eixo vertical que nos dá a sensação de equilíbrio, estabilidade e harmonia.

Na arte e na arquitectura existem diferentes obras onde a noção de simetria foi privilegiada.
O famoso matemático alemão Hermann Weyl definiu simetria como “uma ideia pela qual o Homem através dos tempos tem tentado compreender e criar ordem, beleza e perfeição”.
Para verificares se uma figura é simétrica em relação a esse eixo e verificar se as duas partes em que a figura ficou dividida coincidem. Se isto acontecer podes afirmar que se trata de um eixo de simetria dessa figura, que poderá ser vertical, horizontal ou oblíquo.

1. Cada uma das figuras seguintes tem dois eixos de simetria. Desenha estes eixos

2. Sabendo que o eixo assinalado é um eixo de simetria, completa as figuras.

3. Para descobrires as “duas letras misteriosas” ultrapassa as três etapas seguintes:
1ª etapa: Calcula a, b, c, d, e, tal que:

2ª etapa: Num referencial cartesiano, liga os pontos que têm as coordenadas indicadas:

Segundo:

3ª etapa: Para acabar o desenho é preciso desenhar a figura que é simétrica a esta em relação a um eixo paralelo ao eixo das abcissas que passa pelo ponto (0, 3).

Pantógrafo

O pantógrafo é um instrumento utilizado para fazer ampliações e reduções e, por esse motivo muito utilizado na indústria.

Bonecas Russas

Algumas bonecas Russas (ou matrioshkas) são exemplos de objectos semelhantes.

Semelhança de Figuras

Desde a Pré-História que o Homem se preocupou em reproduzir com a maior fidelidade possível os objectos ou seres vivos que o rodeavam. Ao longo dos tempos, e tendo em conta as provas que chegaram aos nossos dias, podemos apreciar a sua evolução.
Geometria é uma palavra de origem grega. GEO significa “terra” e METRIA significa “medida”. Os primeiros cálculos geométricos tiveram origem no Egipto, graças aos conhecimentos desenvolvidos para a construção das pirâmides.
Um dos instrumentos que mais contribuiu para a evolução da Geometria foi o compasso. Entre muitas das suas utilizações podemos mencionar o seu uso na cartografia, desde os tempos mais remotos.
Contributos para a Geometria
Thales de Mileto (Grécia, 624-546 a. C.) foi um dos fundadores da Matemática. Mediu a altura da maior pirâmide do planalto de Gizé conhecida por pirâmide de Quéops, no Egipto, comparando o comprimento da sombra de uma vara.
Leonardo Da Vinci (Itália, 1452-1519) inventou e desenhou as proporções da figura humana.
O “Cânone de proporções”, de Leonardo da Vinci, indica, por exemplo, que a altura ideal de uma pessoa deve ser igual ao comprimento dos braços estendidos dessa mesma pessoa.