Corrida de Bicicleta

Um ciclista parte de A em direcção a G, seguindo um dos percursos assinalados. Ele parte com um capital de 100 pontos. Em cada etapa, o seu capital aumenta um número de pontos correspondente ao valor da expressão escrita na estrada percorrida (ou diminui se o valor é negativo). Determina o percurso que permite obter o número máximo de pontos.

Roda dos Números

Utilizando os números do quadro, completa a “roda dos números” de modo que os três números de cada fila somem 39 (repara que o 13 já foi colocado na roda).

Descobre a palavra chave

Descobre a palavra-chave

Para isso,
1. Substitui cada uma das figuras geométricas desenhadas acima, pelo respectivo valor numérico, de acordo com o código seguinte:

2. Substitui agora cada um dos valores obtidos em 1 por uma letra, de acordo com o código:

12 – T 40 – C
81 – E 6 – A
16 – M 98 - I

Completa as casas em branco

Números Negativos

Fui ao cinema e deixei a
bicicleta no piso -2.

A origem dos números negativos situa-se no Oriente. Os Chineses usavam um instrumento de cálculo para realizarem operações com números positivos e negativos e os Indianos, desde o século VIII, que têm conhecimento dos números negativos e do seu significado, usando-os em situação de dívida.
No Ocidente a aceitação dos números negativos não foi tão natural. No século XVI, o matemático Stifel designava-os por “números absurdos” e mesmo Descartes, no século XVII, não se deixou convencer, designando-os por “falsos” ou “menores que nada”.
Apenas no século XIX, com os trabalhos de Wessel, Argand e Gauss, os números negativos adquirem o significado que têm hoje.
Como deves saber há muitas situações do nosso dia-a-dia que estão associadas aos números negativos: a representação de temperaturas negativas, dos pisos de um edifício que se encontram na cave, dos saldos negativos, das situações de dívida…

1. Considera o eixo da figura:

a. Representa sobre este eixo os pontos M, N, P e Q de abcissas, respectivamente: -4, -3, 3 e 5.
b. Indica as abcissas dos pontos médios dos segmentos de recta:

2. Considera o referencial cartesiano.
a. Representa os pontos

Tendo o cuidado de os unir por segmentos de recta de modo a obteres uma figura geométrica.

b. Vais agora identificar esta figura assinalando no quadro seguinte o que ela é.

c. Desenha os eixos de simetria desta figura.

Números Racionais

Os números inteiros nem
sempre resolvem os meus problemas.

Falámos sobre o conjunto dos números inteiros, mas o conhecimento que tens dos números não fica por aqui. Conheces números que não são inteiros e podem ser representados por uma fracção. A estes números chamamos números fraccionários. Supõe que conhecias apenas os números inteiros e querias distribui, igualmente uma peça de 26m de tecido por 5 pessoas. Irias perceber rapidamente que não existe nenhum número inteiro que represente o número de metros com que iria ficar cada pessoa. Este número pertenceria a um outro conjunto, o conjunto dos números fraccionários, poder-se-ia representar, de entre outras formas, por 5,2 (numeral decimal) ou (fracção).
No papiro de Rhind (1650 a. C.), que se encontra no Museu Britânico de Londres, e é dos mais importantes registos do conhecimento matemático da Antiguidade, já aparecem fracções. Os Egípcios faziam cálculos muito complicados com fracções, os quais foram usados durante milhares de anos e praticados na Idade Média.

1. Ao João ofereceram-lhe uma caixa com bombons. Ele comeu do número total de bombons e ofereceu aos amigos.

a. Qual a porção (parte ou fracção) de bombons que sobrou?
b. Sabendo que ele comeu 8 quantos bombons tinha a caixa?
c. Quantos bombons ofereceu aos amigos?

Números Inteiros

Afinal eu, o “zero”, não
sou nulidade nenhuma.

Como sabes, o zero não é um número natural, o que faz muito sentido, pois este número não corresponde a uma necessidade real de contagem; não havendo objectos, não há necessidade de contar. Este número pertence ao conjunto dos números inteiros.
Não há unanimidade relativamente ao momento da história da Humanidade em que surgiu este número e à civilização que o terá criado. Existe, no entanto, acordo em relacionar o aparecimento do zero com a necessidade de representar os números, ou seja, com o aparecimento dos sistemas de numeração.
Pensa-se que o zero está associado ao aparecimento do Sistema de Numeração Decimal (o nosso sistema), que foi desenvolvido pelos hindus e introduzido na Europa Medieval pelos mercadores de Itália, que com ele tomaram contacto através dos Árabes. A grande inovação deste sistema em relação ao egípcio ou romano é a existência de um símbolo 0 (zero ou zifr), que permite representar os múltiplos de 10 e tornar, por isso os cálculos muito mais simples. Por exemplo, a data MCCCV é 1305 no nosso sistema.

1. Que operações se devem fazer para conseguir o resultado final 1, utilizando uma só vez cada algarismo de 0 a 9?

2. Como conseguir estas igualdades, utilizando sinais de operações e parêntesis?

9 9 9 9=7
8 8 8 8=15
9 9 9 9=19
8 8 8 8 =56
9 9 9 9=80
8 8 8 8=192

9 9 9 9=720

Números Naturais

O Homem teve necessidade de
contar e criou os números naturais.

Quando as actividades do Homem primitivo se limitavam à caça e à recolecção de alimentos, a sua necessidade de contar quase não existia. Mais tarde, quando o Homem se torna pastor ou agricultor, e principalmente, quando destas actividades consegue obter algum excedente que o transformam em artesão ou mercador, a possibilidade de contar passa a ser uma “ferramenta” essencial para a realização das suas tarefas.
O processo de contagem pressupõe sempre que se estabeleça uma correspondência entre dois conjuntos. Assim, os primeiros pastores poderiam ter estabelecido uma correspondência entre o conjunto das suas ovelhas e o conjunto cujos elementos seriam traços nos seus cajados.
Se pensarmos bem, ainda hoje, quando contamos pelos dedos, estamos a fazer uma correspondência com os dedos das mãos. Repara também que a palavra dígito vem do latim digitus, que significa dedo, e que o nosso sistema de numeração é decimal (de base 10). Daqui pode perceber-se como a contagem está associada à noção de correspondência, sendo certamente os dedos das mãos e até os dos pés (para alguns povos) os elementos que estavam ali mesmo à “mão” ou ao “pé”.

1. Modifica a posição dos números, de modo que, em cada triângulo grande a soma seja sempre 50.

2. Pensa em pintos e capoeiras. Se colocarmos sete pintos em cada capoeira, sobra um pinto. Se pusermos nove em cada capoeira uma delas fica vazia.
Quantos pintos e capoeiras estamos a pensar?

3. Completa o aritgrama seguinte, utilizando algarismos de 1 a 9.

Simetrias

As figuras que não têm
nenhum eixo de simetria

não são simétricas.

Existem na Natureza muitos seres onde podemos encontrar simetrias e que impressionam pela sua beleza. Isto acontece em grande variedade de seres vivos, nomeadamente com os malmequeres, margaridas, borboletas, estrelas-do-mar… O nosso corpo está também associado a uma ideia de simetria em relação a um eixo vertical que nos dá a sensação de equilíbrio, estabilidade e harmonia.

Na arte e na arquitectura existem diferentes obras onde a noção de simetria foi privilegiada.
O famoso matemático alemão Hermann Weyl definiu simetria como “uma ideia pela qual o Homem através dos tempos tem tentado compreender e criar ordem, beleza e perfeição”.
Para verificares se uma figura é simétrica em relação a esse eixo e verificar se as duas partes em que a figura ficou dividida coincidem. Se isto acontecer podes afirmar que se trata de um eixo de simetria dessa figura, que poderá ser vertical, horizontal ou oblíquo.

1. Cada uma das figuras seguintes tem dois eixos de simetria. Desenha estes eixos

2. Sabendo que o eixo assinalado é um eixo de simetria, completa as figuras.

3. Para descobrires as “duas letras misteriosas” ultrapassa as três etapas seguintes:
1ª etapa: Calcula a, b, c, d, e, tal que:

2ª etapa: Num referencial cartesiano, liga os pontos que têm as coordenadas indicadas:

Segundo:

3ª etapa: Para acabar o desenho é preciso desenhar a figura que é simétrica a esta em relação a um eixo paralelo ao eixo das abcissas que passa pelo ponto (0, 3).

Labirinto

No labirinto só são permitidos deslocamentos:
- na horizontal, se for para outra representação do mesmo número.
- Para cima, se for para um número maior.
- Para baixo, se for para um número menor.
Descobre o caminho.

Escalas e Percentagens

Se a escala é de 1:60000 significa que uma unidade do

mapa corresponde a 600000 unidades no terreno

O João e os pais foram do Porto a Paços de Ferreira para comprarem uma estante para o seu quarto. Quis saber aproximadamente o número de quilómetros que iria percorrer e para isso utilizou o mapa que havia lá em casa e o que tinha aprendido sobre escalas nas aulas de Matemática.
Pegou numa régua, mediu em linha recta a distância do Porto a Paços de Ferreira (4,7 cm) consultou a escala do mapa, 1: 600000, e calculou o número de quilómetros que iriam percorrer.

És capaz de saber quantos quilómetros são?

1. Chegados a Paços de Ferreira foi muito importante o facto de o João ter levado uma planta da sua casa, pois sem ela não poderia decidir se aquela estante de que tanto gostava, e que até dava para pôr o computador, não ultrapassava o espaço disponível para a colocar.

Sabendo que a estante tem 2,4m de comprimento e que será colocada na parede comum com o quarto da Joana, verifica se o João pode ou não comprar a estante (a escala da planta é de 1:150).

2. O preço da estante é de 972,66€. Os pais têm ainda de pagar 17% de IVA, tendo no entanto um desconto de 5% pelo facto de pagarem a pronto.
Quanto terão de pagar pela estante?

Proporcionalidade Directa

O que vou pagar pelo aluguer do ringue de
patinagem é directamente proporcional
número de horas que o vou usar.

Tales era grego e viveu no século VI a. C.
Consta que era comerciante e nas viagens ao Egipto aprendeu com os sábios sacerdotes muitos dos resultados que utilizou nos seus cálculos astronómicos. Conseguiu mesmo prever um eclipse do Sol que se verificou nos finais do século V ou princípios do século VI a.C.
Por estas paragens terá admirado a pirâmide de Quéops, tendo determinado a sua altura por um processo genial sem a utilização de quaisquer instrumentos e sem precisar de subir ao cimo da gigantesca construção.
Para isso, desenhou uma linha no chão com a medida exacta da sua altura. Colocou-se de pé numa das extremidades e afirmou que quando a sua sombra tivesse a medida da sua altura, a altura da pirâmide seria também igual à medida da respectiva sombra.
Terá dito ainda que podia fazer esta medição em qualquer altura do dia. Espetando um pau na terra se o comprimento da sombra fosse metade do comprimento do pau poder-se-ia concluir que a sombra da pirâmide correspondia a metade da altura real da construção.
Tens que concordar que ele fez uma dedução extraordinária. O método de resolução deste problema tem por base uma proporção.

Para pensar ...

1. Qual é a medida da altura da torre, em metros, sabendo que a determinada hora do dia a sombra da vara e da torre medem respectivamente 3 e 42,5 m?

2. Constrói no geoplano ou em papel ponteado a figura seguinte

a. Se a unidade de medida é o comprimento determina o perímetro da figura.

b. Se a medida do comprimento de cada um dos lados aumenta para o dobro, como varia o perímetro?

c. Existe proporcionalidade directa entre as medidas dos comprimentos dos lados destas figuras e o seu perímetro?

d. E a área? Como varia? Será que existe proporcionalidade directa entre as medidas dos comprimentos dos lados e a área? Porquê?

Número Pi

Podemos encontrar o número π nas fórmulas do

perímetro e a área do círculo

O Número

Através dos tempos, o número π (pi), que tu encontras nas fórmulas do perímetro e área do círculo, tem sido um enigma para os matemáticos.
O π é um número irracional, até agora só estudaste os números racionais, todavia, mais tarde, vais estudar os números irracionais. Estes números têm um número infinito de casas decimais sem um padrão de repetição, ou seja sem se encontrar um algarismo ou grupo de algarismos que se repita. É por tanto impossível encontrar um valor exacto para π, mas ao longo dos tempos têm-se vindo a conhecer cada vez mais casas decimais.
Hoje em dia, com os computadores, é possível conhecer π com um grande número de casas decimais. Numa exposição sobre Matemática, no Pavilhão do Conhecimento, em Lisboa, era possível introduzindo num computador os algarismos da data de nascimento de qualquer pessoa, encontrar o seu posicionamento na parte decimal do π.
Há muitos anos atrás, os Egípcios, Hebreus e Chineses consideravam que 3 era uma boa aproximação para π. Por volta do século II a.c., Arquimedes desenhou polígonos dentro e fora de um círculo para obter valores aproximados de π. Quanto maior fosse o número de lados, melhor seria a aproximação, tendo usado polígonos de 96 lados paras mostrar que π era maior que 3,140845070422535211267605633802817 e menor que 3,142857142857142857142857142857143.

Para pensar...

1. O diâmetro e o perímetro de um círculo estão relacionados de uma forma muito interessante…
Arranja quatro objectos de forma circular, mede o seu perímetro, o seu diâmetro (se for necessário usa um cordel para o fazeres) e regista os resultados no quadro a baixo:

Repara nos valores encontrados para P/d. Estes valores são aproximadamente iguais? A que número? Qual a relação que podes estabelecer entre o perímetro de um círculo e o seu raio?

2. Determina o perímetro de uma praceta de forma circular, em que a medida do comprimento do raio é aproximadamente 15,6 m.

3. Quantos centímetros anda o ponteiro das horas de um relógio, com 7cm de comprimento, entre as 6h da tarde e as 8h da manhã?